Algèbre linéaire Exemples

$8 x + 12 y = 36$ , $- 12 x - 18 y = - 54$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & 12 & 36 \\ - 12 & - 18 & - 54 \end{array}]$

Étape 2

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{12}{8} & \frac{36}{8} \\ - 12 & - 18 & - 54 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ - 12 & - 18 & - 54 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ - 12 + 12 \cdot 1 & - 18 + 12 (\frac{3}{2}) & - 54 + 12 (\frac{9}{2}) \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x + \frac{3 y}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y}{2} = \frac{9}{2} - x$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (\frac{9}{2} - x)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 4.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 (3)) + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 4.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3) + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 4.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = 3 + \frac{2}{3} (- x)$

Étape 4.3.2.1.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = 3 - \frac{2 x}{3}$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $3$ et $- \frac{2 x}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 3$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, - \frac{2 x}{3} + 3)$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{2 x}{3} + 3 \end{array}]$